簡単にわかる力学的エネルギー保存の法則！力学専攻学生が例題を通してわかりやすく解説

ライター／ユッキー

建築学科で構造力学を専攻している大学生。小学校から高校と理科系クラブに所属しており、高校ではクラブ内の研究を海外で英語発表することも経験した。

1.力学的エネルギーとは

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最初に、力学的エネルギーとは何かの整理を行いましょう。力学的エネルギーとは、その名の通り物体が保持しているエネルギーのことです。例えばある速度でボールが転がっているとします。そのボールにはその速度で運動しているだけのエネルギーが存在している、という考え方です。

では、具体的にはエネルギーにはどんな種類があるのでしょうか。まず押さえておいてもらいたいものは運動エネルギーと位置エネルギーです。それぞれ､以下の式で表されます｡

運動エネルギー
E=1/2 mv^2

位置エネルギー
E=mgh

m:質量(kg)　v:速度(m/s)　g:重力加速度(m/s^2)　h:高さ(m)

運動エネルギーはある速度で物体が運動しているとき、物体が持っているエネルギーのことです。対して位置エネルギーは物体がある高さにあるときに、物体が持っているエネルギーを表します。

さて、この2つを最初に紹介した理由は、これらがエネルギーの中でも頻出で、かつ保存力が行う仕事であるからです。

エネルギーは、ある力が仕事を行うことで変化します。保存力というのは、力の中でも、表題でもある「力学的エネルギー保存の法則」内に存在するエネルギーを生み出すのです。

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2.力学的エネルギー保存の法則

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例えば図のように重さmの球を、摩擦のない斜面のうち地面から高さhのところに置くとします。この球から手をはなすと、球は斜面を転がっていくことは想像がつくでしょう。この球が地面に達した瞬間の速度をvとします。

このとき、球が高さhにあるときの位置エネルギーと、球が床面に達したときの運動エネルギーは等しくなります。これが力学的エネルギー保存の法則です。式で表すと以下のようになります｡

mgh=1/2 mv^2

2-1.保存の法則を用いた例題

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これを応用すると､図のような例題も考えることができます｡先ほどと同じように摩擦のない斜面の高さhのところから球を転がしますが､球が高さh/2のところまで転がったときの速度v`を考えてみましょう｡まずは転がす前の段階について考えます。このとき物体は運動していないため考えるものは位置エネルギーです。このときの位置エネルギーは、

E=mgh

と表されます。次に球が高さh/2のところまで転がってきたときのエネルギーを考えましょう。高さh/2のときの位置エネルギーはmg(h/2)です。また、このときの速度をv`としているため、運動エネルギーは1/2mv`^2となります。これらを合わせると、球が高さh/2のところまで転がってきたときのエネルギーは、

E=1/2mgh+1/2mv`^2

です。これらが保存するため、等式をたてると、

mgh=1/2mgh+1/2mv`^2

となります。これを変形させると、

1/2mgh=1/2mv`^2

gh=v`^2

v`=√(gh)

と、v`の値が求められました。