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東大数学を実際に解いてみた!確率漸化式の解き方を現役東大生とドラゴン桜桜木が解説

二浪の末合格した現役東大生の西岡さんが東大の過去問に挑戦!本番での注意点などを交えながら、西岡さんの解説から確率漸化式の解き方を見ていきましょう。

今回はYouTube「ドラゴン桜チャンネル」から、【確率漸化式の解き方】についてお届けします。

この記事は「ドラゴン桜チャンネル」の内容からお届けします

基本的な考え方と注意点

基本的な考え方と注意点

image by Study-Z編集部

今回は、東京大学2012年入試問題の数学第二問の解き方を西岡さんの解説とともに紹介します。まず初めに問題へのアプローチの仕方と注意点を説明しましょう。

問題へのアプローチ

問題へのアプローチ

image by Study-Z編集部

問題の文章を読解できれば20点満点中5点くらいは取れる、と西岡さんは言っています。「球が部屋Pを出発し、1秒後にはその隣の部屋に移動する」とありますが、わかりにくいので、西岡さんは各部屋にA、B、C、D、R、E、Fと名前を付けました。また、問題文には「n秒後」と書いてあり、「n秒後」と書いてあるときは確率漸化式を使う可能性が高い、と西岡さんは指摘しています。ここで、n秒後と言われても抽象的でピンとこないので、実際に1秒後、2秒後がどうなっているかを考えていきましょう。3秒後、4秒後くらいまで考えていくと、それで10点くらい取れる「あるポイント」に気づくことができる、と西岡さんは言っています。

Pにある球が1秒後に移動するのはAかBかC。2秒後は、AかBかCからどこかへ移動します。その後、Aに移動した球はPにしか移動できません。Bに移動した球はPかRに移動し、Cに移動した球はPかQに移動する、ということがわかります。次に3秒後ですが、Pにあった球はAかBかCへ、Rにあった球はBかDかEへ、Qにあった球はCかEかFへと移動しますね。この時点で何となくピンと来た人もいるかもしれませんが、この問題は実は偶数か奇数で思考の過程が異なります。つまり、偶数秒後に球がある部屋はP、Q、Rのいずれかで、奇数秒後に球がある部屋はA、B、C、D、E、Fのいずれか、という法則です。「nが奇数の時に球が部屋Qにある確率はゼロ」と書けば、20点満点中の半分である10点はたぶん取れるだろうと西岡さんは言っています。1秒後、2秒後、3秒後のプロセスをきちんと書いて、奇数秒後には確率がゼロだということを説明していけば、半分くらいは点が取れるということです。この後は偶数秒後どうなるかを考えていきましょう。

注意点

注意点

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偶数秒後どうなるかを考えるうえで、一つ注意する必要があります。偶数秒後には、球がPかQかRにありますが、だからといってQにある確率が三分の一ということにはならない、と西岡さんは言っていますよ。球が3つあってP、Q、Rからそれぞれ出発するというわけではなく、球は1つでそれがPから出発するため、確率が均等ではないからです。西岡さんが書いた矢印に注意してください。この矢印を見ても球がPにある確率が高くなっているのがわかるでしょう。この点に注意していろいろと式を作っていきます。本番では、5分位でここまで解き、このあと15~20分くらいで解答を作れば点が取れる、と西岡さんは言っていますよ。

解答用紙の使い方

解答用紙の使い方

image by Study-Z編集部

解答用紙に縦に線を引いて左右2つに分けるのがおすすめだそうです。予備校の多くが東大の過去問の解答例を手書きで出していますが、どの数学の先生も真ん中に線を引いて解答用紙を左右に分けているそうですよ。河合塾や東進の解答例を参考にしてください。解答用紙のスペースが足りなくなることが多いので、あらかじめ左右2つに分けておくとたくさん書くことができてしかも書きやすい、と西岡さんは言っています。解答用紙に書ききれずに裏面に解答を続けると東大では点数にならないので、注意が必要です。

東京大学2012年入試問題の数学第二問を実際に解いてみよう!

それでは西岡さんの解き方を見ていきましょう。

遷移図を書く

遷移図を書く

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初めに、「左図のように部屋P、Q、Rにいる確率をPn、Qn、Rnとおき、奇数秒後には、P、Q、R、どの部屋にも球がないので、偶数秒後のときのみを考えれば十分。よってn=2N(N≧0)とおくと、遷移図は下記のようになる」として、遷移図を書きましょう。遷移図というのはP2Nにあった球がP2N+2の時にどこにあるかを書いた図のことです。

確率を考える

次にPから出発した球が2秒後にどこにいるかを考えましょう。Pから上に行ってPに戻る確率は1/3、Pから左に行ってPに戻る確率は1/3×1/2で1/6、Pから右に行ってPに戻る確率は1/3×1/2で1/6になり、Pに球が戻ってくる確率は1/3+1/6+1/6=2/3になります。同様にPからRへ移動する確率は1/3×1/2で1/6、PからQへ移動する確率は1/3×1/2で1/6です。

時々検算する

ここまでを整理すると次のようになります。

P2N+2=2/3P2N+1/6Q2N+1/6R2N
Q2N+2=1/6P2N+2/3Q2N+1/6R2N
R2N+2=1/6P2N+1/6Q2N+1/3R2N

ここで検算の方法ですが、P2N+2+Q2N+2+R2N+2=P2N+Q2N+R2N=1になれば良い、と西岡さんは言っていますよ。球は絶対にPかQかRのいずれかの部屋にあるので1になるというわけです。つまり、ここでは2/3+1/6+1/6が1になるかを検算します。このように、時々検算をしながら問題を解いていくほうが安心です。

球が部屋Qにある確率を考える

球が部屋Qにある確率を考える

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ここから部屋Qにある確率を考えていきましょう。Q2N+2=1/6P2N+2/3Q2N+1/6R2Nを考えます。つまり、P2N+Q2N+R2N=1とQ2N+2=1/6(P2N+R2N)+ 2/3Q2Nという2つの式を連立させれば良いのです。P2N+Q2N+R2N=1をP2N+R2N=1― Q2Nとして、これをQ2N+2=1/6(P2N+R2N)+ 2/3Q2Nの式に代入します。

P2N+Q2N+R2N=1 (1)
Q2N+2=1/6(P2N+R2N)+ 2/3Q2N (2)
(1)よりP2N+R2N=1― Q2N これを(2)に代入する

Q2N+2=1/6(1― Q2N)+ 2/3Q2N
           =1/6― 1/6Q2N+ 2/3Q2N
           =1/6―1/6Q2N+ 4/6Q2N
           =1/6+ 1/2Q2N

ここでα=1/6+1/2αとして 1/2α=1/6つまりα=1/3

Q2N―1/3=1/2Q2N―1/6=1/2(Q2N―1/3)
Q2N―1/3をB2Nとおくと、B2N+2=1/2B2N
B₀=Q₀=0
Q2N-1/3=(1/2)N(Q₀―1/3)=1/3 (1/2)N
Q2N=―1/3 (1/2)N+1/3=1/3{1―(1/2)N}

答え:Qn=nが偶数の時は0、nが奇数の時は1/3{1ー(1/2) N}

遷移図が加点ポイントになることがあるので、遷移図を必ず書きましょう。確率漸化式は対策をすれば理解できるようになるので、対策をして本番直前にも見直しておきます。遷移図を書けるようにしておくことも大切です。

遷移図を書けるようにしておこう!

YouTube「ドラゴン桜チャンネル」から、【確率漸化式の解き方】についてお届けしました。

今回は西岡さんが実際に問題を解きながら、解き方を解説しましたが、問題文が抽象的でわかりづらかったら、実際に数字を入れて考えてみましょう。ポイントに気づいたら解き方のアプローチを考えて、それを式で表していきます。遷移図を書けるようにしておきましょう。

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