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東大生が実際に解いてみた!東大数学の解き方をドラゴン桜桜木と解説

二浪の末合格した現役東大生の西岡さんが実際の入試問題に挑戦!本番での注意点などを交えながら、西岡さんの解説から数学の問題の実際の解き方を見ていきましょう。

今回はYouTube「ドラゴン桜チャンネル」から、【東大数学の解き方】についてお届けします。

この記事は「ドラゴン桜チャンネル」の内容からお届けします

2007年東大文系の数学第3問

2007年東大文系の数学第3問

image by Study-Z編集部

今回は西岡さんが実際に東大の過去問を解きながら解説します。この問題は、考え方としては難しいことがないので中学生でも解ける問題だと西岡さんは言っていますよ。「すべて」とあるので答えは複数あると考えましょう。

実際に数字を代入して試してみる

問題分に例として出ているので、mを45として考えてみましょう。5×(45)4の下2桁ということで、45の4乗を求めます。2乗で45×45=2025 ですがこの後2025×2025を計算する必要はない、と西岡さんは言っていますよ。問題文にもあるようにポイントは下2桁だけなので、上2桁は無視してかまいません。25×25=625なので下2桁は25というわけで、5×(45)4の下2桁は25になります。

解き方がわからないときは?

試験会場で解けそうな問題がない場合は、この問題だけに100分使うという方法もある、と西岡さんは言っています。この問題は、数学的な証明をしなくても5m4の計算を0から99まで100回すれば解ける問題だそうです。時間をかけて100種類の計算をこなせば解けるので小学生や中学生でも解ける、と西岡さんは言ったそうですよ。解けそうな問題がなく、4問のうち1問はとりあえず点を取って20点は死守したいと思ったら、この問題だけに100分使いましょう。100分あれば100回計算できるので、その計算過程を全部解答用紙に書けば点数になる、と西岡さんは言っています。全部計算して「これですべてです」と書けば、数学的に何も間違っていないので点数をもらえるそうですよ。

実際、センター試験の確率の問題にも全部計算すれば解ける問題があるそうです。数学が苦手な人や試験会場で頭が真っ白になることもあるので、ゴリ押しで何とかなる問題で点を取るというのも一つの手だということを覚えておきましょう。

実際に問題を解く!

実際に問題を解く!

image by Study-Z編集部

ここから、実際に問題を解いていきます。

アプローチ

アプローチとしては関係がないことを計算していけば良い、と西岡さんは言っていますよ。例えば35×35を計算すると1225で下2桁は25、つまり下1桁が同じ数字なら下2桁が同じ数になるのでは?と考えられます。5、15、55などを全部計算していくと、下2桁の数字は上1桁目の数字には影響されないということがわかりますね。つまり0から9の計算をすればよい、ということになります。この問題を解くには、0と10と20は答えが一緒になり、1と11と21も一緒になる、ということを数学的に証明できれば良いということです。ただし、0から9まで計算しただけでは、数学的に証明していないので点数が取れません。このような、答えが見え見えだけど証明しないといけない問題は東大が好きな問題だ、と西岡さんは言っています。

解き方の手順

解き方の手順

image by Study-Z編集部

ここからは西岡さんを解き方を実際に見ていきましょう。

まず、m=10α+βとおき、5m4=5(10α+β)4とします。上1桁つまりαがどんな値でも下2桁に影響しないということを証明していきましょう。余談ですが、計算式で解答用紙が汚れるのを嫌がって別の用紙に計算してそれを書き写す人もいますが、書き写すときにミスする恐れがあるのであまりお勧めしない、と西岡さんは言っています。

m=10α+βとおき、5m4=5(10α+β)4としたので、5m4=5(10α+β)4=5(10α+β)2×2 
       =5(100α+20αβ+β2)2
       =5(1000α4+2000α3β+100α2β2+2000α3β+400α2β+20αβ3+100α2β2+20αβ34)

       =5(10000α4+4000 α3β+600 α2β2+40αβ34)
       =50000α4+20000 α3β+3000 α2β2+200αβ3+5β4

ここで100でくくりましょう。
       =100(500α4+200α3β+30α2β2+2αβ3)+5β4

「よって下1桁のβのみを考えれば5m4の下2桁として現れる数を求められる」100で括った部分は下2桁の数字には関係しないということを表し、下2桁を求めるには5β4だけを計算すればよい、と明記します。

ここからβ に数字を代入して求めていきましょう。
β=0のとき5β4=0
β=1のとき5β4=5
β=2のとき5β4=80
β=3のとき5β4=405
β=4のとき5β4=1280
β=5のとき5β4=3125
β=6のとき5β4=6480
β=7のとき5β4=12005
β=8のとき5β4=20480
β=9のとき5β4=32805
下2桁なので、
「よって答えは、0、5、25、80になる」

この「よって答えは~」というのは本番で絶対に書いたほうが良い、と西岡さんは言っています。答えを明確に書いておくと間違いなく得点できるでしょう。計算が面倒ですが、問題自体は難しい問題ではありません。ただし、計算ミスには注意が必要です。西岡さんは文Ⅱで80点満点中75点を取ったので、この解答でも大丈夫だそろうと言っています。

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