よぉ、桜木建二だ。今回はベクトルと合成速度について解説していくぞ。合成速度などと名前がついているが、これはただ速度の足し算のことだ。ただし速度はベクトル量なので、普通の足し算とはちょっと違うというところが注意すべき点だ。力の合成と分解、速度の合成と分解、加速度の合成と分解など、すべてベクトル量の計算だ。つまりベクトルがわかっていれば、すべてのベクトル量の操作について理解できることになる。物理で使うことを前提に、ベクトルの基礎について学んで見よう。
今回は物理学科出身のライター・トオルさんと解説していくぞ。
解説／桜木建二
「ドラゴン桜」主人公の桜木建二。物語内では落ちこぼれ高校・龍山高校を進学校に立て直した手腕を持つ。学生から社会人まで幅広く、学びのナビゲート役を務める。
ライター／トオル
物理学科出身のライター。広く科学一般に興味を持つ。初学者でも理解できる記事を目指している。
物理を学ぶためのベクトルの基礎
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物理学をしっかりと学ぶ上で、どうしても避けられない数学の知識の一つがベクトル解析です。この宇宙が一次元なら、ベクトルを使わなくてもなんとかなったかもしれませんが、幸か不幸かこの宇宙は空間だけで三次元以上ありますので、ベクトルを使わざるを得ません。物理ではベクトルといえば、大きさと向きを持つ量のことであり、力・速度・加速度・運動量などはすべてベクトル量です。数学のベクトルはもっと抽象的で一般的なのですが、物理学では具体的な量としてベクトルをイメージしてください。ちなみに、向きを持たない量はスカラー量と呼ばれ質量・エネルギーなどが含まれます。
ベクトル・その1
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これがベクトル量を表現したものです。矢印が指している方向がこのベクトルの向き、矢印の長さがベクトルの大きさになります。矢印がついてないほうを始点、矢印がついている方が終点です。ベクトルは成分で表すことも可能であり、上のベクトルは成分表示では{1,1}と表します。絶対値をつけると大きさの意味になり、このベクトルの大きさは三平方の定理を使ってルート2となることがわかるはずです。軸に沿ってい大きさが1のベクトルは単位ベクトルと呼ばれeなどで表されます。
ベクトル・その2
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まずはベクトルbを見てください。ベクトルbはベクトルaのちょうど逆方向のベクトルになっています。ベクトルを正反対にするには成分を見れば分かるように、マイナス1をすべての成分にかけるだけです。つまり、マイナスベクトルaは大きさが同じで向きがちょうど正反対のベクトルを表していることになります。つぎにベクトルdを見てください。このベクトルはベクトルaとベクトルcの和になっています。成分を見れば、それぞれのベクトルの成分同士の足し算になっているのがわかるはずです。ベクトルの和はいつもグラフのように平行四辺形と対角線の関係になっていることを覚えておいてください。
ベクトル・その3
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つぎにベクトルの掛け算の一種である内積について説明します。内積はドット積とも呼ばれ、図のように成分同士の掛け算を足したものです。これは二つのベクトルの間の角をシータとすると、ベクトルcのコサインシータがオレンジ色のベクトルの大きさになり、それとベクトルaの大きさと掛けたものと同じになり、これも内積になります。内積の結果はスカラーなることを覚えておきましょう。物理でよくある内積の使われ方は、単位ベクトルとの内積をとり単位ベクトルの方向の成分を取り出すために使われます。あと、単位ベクトル同士の内積を見ればわかるように、ベクトルの間の角が90度なら内積は常にゼロです。
桜木建二
少し駆け足だったがベクトルの基礎について解説した。要点は、物理ではベクトルは図形的な表記と、成分での表記と二つの意味を持つことを理解しておくことだ。物理のベクトルは、成分のイメージと図形イメージの両方を持っておくと理解しやすいだろう。ベクトルの基礎演算については公式として覚えてしまうしかないかもしれないが、かならず図形的イメージを持つようにしてほしい。
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