物理物理学・力学理科

「鉛直投射」と「力学的エネルギー保存」について理系ライターが丁寧にわかりやすく解説

よぉ、桜木建二だ。今回は鉛直投射と力学的エネルギー保存について解説していくぞ。

鉛直投射は等加速度運動の一種であり、自由落下の一種だと考えるのがお勧めだ。そうすると数式も難しくなく誰でも容易に想像できる運動であるから、学習するのが比較的容易なはずだ。それと関連して力学的エネルギー保存の法則もついでにやってしまおう。力学的エネルギー保存は文字通りエネルギー保存の一種であり、物理学上最も強力な法則の一つだ。エネルギー保存は常に成り立っているので、それの力学版だと考えれば忘れることもないだろう。

今回は物理学科出身のライター・トオルさんと解説していくぞ。

解説/桜木建二

「ドラゴン桜」主人公の桜木建二。物語内では落ちこぼれ高校・龍山高校を進学校に立て直した手腕を持つ。学生から社会人まで幅広く、学びのナビゲート役を務める。

ライター/トオル

物理学科出身のライター。広く科学一般に興味を持つ。初学者でも理解できる記事を目指している。

鉛直投射

image by iStockphoto

自由落下を手に持っていた物体をそのまま離す運動だとすれば、鉛直投射は手に持っている物体を下方にまっすぐ投げつけたり、上方にまっすぐ投げ上げたりする運動のことです。鉛直はまっすぐという意味であり、投射は投げるという意味ですから、文字通りそのままの意味の運動を想像すればよいことになります。下に投げることを鉛直投げ下げ、上に投げることを鉛直投げ上げということもあるようです。空気抵抗を無視すれば、手を離れた瞬間からは自由落下と同じく重力だけの運動になるため数式はまったく同じになります。

準備

準備

image by Study-Z編集部

上記は初学者のための表になります。一番上はニュートンの運動方程式であり、これを知らずに物理を勉強するのは不可能に近い式です。運動方程式は物体に加えられた力と加速度は比例するという式であり、加速度は速度の時間変化すなわち速度の時間微分になります。ちなみに速度は位置の時間微分です。単位に関係なく成立するため単位は記入していません。この記事では微積分を使いますが、微積分を知らない人でも読めるようになっています。

鉛直投射の式

鉛直投射の式

image by Study-Z編集部

上記は加速度と速度と位置を時間で表した式です。この式で初速度をゼロとすれば自由落下、プラスとすれば鉛直投げ上げ、マイナスとすれば鉛直投げ下げと言われる運動の式になります。カッコ内が正しく微積分を用いた式であり、重力加速度は重力を与える加速度です。一敏な上の式より力がF=-mgであることから、空気抵抗を無視しているのがわかります。式を見れば分かるように自由落下と鉛直投射の式は同じであり、ただ初速度が違うだけです。別々に考えるより重力のみが働く運動として一緒に覚えてしまうのがよいでしょう。式の中に質量が無いことに注意してください。これは運動の速度や位置が質量の大小に関係がないということを意味しています。gにマイナスがついているのは、この記事では地表面より上向きをプラスとしているからです。

鉛直投げ上げの様子

鉛直投げ上げの様子

image by Study-Z編集部

鉛直投げ上げ、つまり鉛直投射で初速度がプラスの運動を見てみましょう。地球の地表付近では重力加速は約9.8メートル毎秒毎秒ですので9.8とし、初速度を上方向つまりプラス10メートル毎秒で初期位置を0メートルとします。今回表示してあるのは速度と位置の時間変化のグラフです。グラフから運動の様子が想像できるでしょうか。グラフから読み取れるのは、最初の地点より速度10メール毎秒で上向きに投げ出された物体が、約1秒後に速度0メートル毎秒で約5メートルの最高点に到達したあと、スタートより約2秒後に速度が下向き10メートル毎秒で元の位置に戻ってくるという運動であるということです。ボールを手で上に放り投げ、元の手の中に落ちてくる運動をイメージすれば理解できると思います。念のため、これは空気抵抗を無視した場合の運動であることを確認しておきましょう。

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鉛直投射という難しい名前がついているが、実際は誰でも知っている簡単な運動のことだ。ボールをまっすぐ上に投げればそのうち落ちてくるし、まっすぐ下に投げれば地面まで一直線だ。これが鉛直運動だ。要点は、数式を見ればわかるように鉛直投げ上げ、鉛直投げ下げ、自由落下は全部同じ式でありただ初速度の値が違うだけということだ。運動のイメージは誰でも持てると思うので、あとはそれを数式と一致させるだけで鉛直投射は完全に理解できるはずだ。

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