等速直縁運動の次に基本的な運動が等加速度運動です。その代表例である自由落下ににつては知っている人も多いと思う。自由落下は非常に重要な運動なので基礎だけでも知っておいて欲しい。微積分にも恐れず果敢にチャレンジしてくれることを願っている。
今回は物理学科出身のライター・トオルさんと解説していきます。
ライター／トオル
物理学科出身のライター。広く科学一般に興味を持つ。初学者でも理解できる記事を目指している。
等加速度運動について
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等加速度運動とは名前の通り加速度が等しい、つまり加速度がずっと同じである運動という意味です。等速直線運動の次に簡単な運動であり、地表面での重力による運動はだいだい等加速度運動になります。公式を覚えてしまっていいのですが、それぞれの式が微分積分の関係になっていることを知っていれば丸暗記する必要はありません。さらに微積分自体の理解にもなるため、微積分を使って理解してしまうことをお勧めします。
準備
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今回も初心者のために記号の説明を載せておきましょう。一番上はニュートンの運動方程式です。運動の問題ではまずこの方程式を一番に思い浮かべましょう。力と加速度は比例することを表しています。加速度は速度の変化をかかった時間で割ったもの、速度の時間微分であることを思い出してください。この記事は微積分について理解していない人も読めるようになっていますが、基本だけでも知っているとより理解が深まると思います。あと、ここでの理論は単位に関係なく成立しますので、あえて単位は記載していません。
等加速度運動の式
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では式を見てみましょう。右が微分を使った式、左が使わない式です。上から下に式を変形するのが時間で積分、下から上に式を変形するのが時間で微分になります。1番上の式は加速度はa0で定数、つまりずっと同じという意味であり、これが等加速度運動という名前がついている理由です。2番目は速度の時間変化、3番目が位置の時間変化になります。右の式ではF/mの項がでてきてますが、古典力学の範囲では質量は一定ですのでF=ma0を代入すれば左の式と同じなるのがわかるはずです。初速度は初めの速度、初期位置は初めの位置のことであり、微積分での積分定数に当たります。
等加速運動の速度と位置の時間発展
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物理をかじったことのある人なら見たことある人も多いと思いますが、等加速度運動の速度と位置の時間変化のグラフを描写しておきました。加速度を1、初速度と初期位置を0.5としてあります。先ほどの式の中の2番目と3番目の式のグラフです。速度が直線的に増加していて、位置が放物線的に増加しているのがわかると思います。これは速度の式がtの式(tの1次式)、位置がtの2乗の式(2の二次式)であることに対応しているのです。これはそのまま微分と積分の関係になっています。念のために言っておきますと、加速度はずっと同じなので時間変化のグラフはまっすぐ横に直線のグラフです。
地表付近での自由落下
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自由落下は数式的には簡単な等加速度運動ですが、運動そのものとしては極めて重要な運動になります。ガリレオは自由落下で慣性の法則を証明したと言われていて、ニュートンは自由落下で万有引力を思いついたそうです。さらにアインシュタインは自由落下から等価原理を思いついたと言っています。自由落下の基本として、ここでは地表付近での空気抵抗を無視した自由落下のみを自由落下としましょう。地表付近では重力加速度はほとんど同じなので、重力加速度を定数と近似でき運動は等加速度運動となります。
重力と重力加速度
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地球上に存在する物体がすべて地球に引っ張られていることは、ほとんどの人が知っていると思います。これはボールを落としたり、ジャンプしてみたりすれば容易に体感できるでしょう。この引っ張る力が重力と呼ばれるものになります。ニュートンの運動方程式はF=maでしたから、Fを重力とすればそれは質量と加速度の積になっているはずです。mは重力でも変らず同じ質量と仮定し、重力を与える加速度を重力加速度と呼びgで表しましょう。そうすると重力は
重力=質量×重力加速度(F=mg)
となります。重力加速度は場所により少しずつ変化するのですが、地表付近では大体同じような値になり短い距離の運動ならほぼ同じとして問題ありません。
自由落下の式
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重力以外何も力が働かない運動を自由落下といいます。自由落下の式は、F=－mgなのですから等加速度運動の式の加速度を－gに置き換えただけのものです。マイナスがつく理由は、地表面から上向きをプラスにするのが一般的だというただそれだけのことが理由になります。F=－mgによってmが消去されていることに注意して下さい。これは自由落下が質量に影響されないこと、つまり重いものも軽いものも同じように落下することを意味しています。もっとも、現実の地表には空気抵抗などがありますので完全な自由落下を実現するのはなかなか困難なのですが。
地表付近での自由落下の様子
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最後に地表付近での自由落下の様子を見ておきましょう。地球上の地表付近での重力加速度はだいだい9.8メートル毎秒毎秒くらいですので、重力加速度は9.8として100mの高さから初速度0で物体を落とした時の数式をグラフ化してみましょう。今回は単位が設定されていることに注意して下さい。空気抵抗がなければ約4.5秒で地上に到達し、その時の速度は約45m/sであることがわかります。これは時速162キロという高速です。今回はここまでですが、これまでの議論は重力加速度さえ変えればどの重力下での運動にも適用できる考えであることを理解しておいてください。
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