よぉ、桜木建二だ。当り前だが、高い場所からボールが落ちたら非常に危険。なぜかと言うと、落下物は勢いよく加速し、瞬く間に凄い「速さ」になってしまうから。自由落下の加速度は9.8m/s^2。電車or気動車の加速度が0.7m/s^2程度、スポーツカーでも4m/s^2程度なので、これはかなりの「急加速」。
この記事では、入試に出てきそうなユニークな式変形をしながら重力加速度について考察していくぞ。
解説／桜木建二
「ドラゴン桜」主人公の桜木建二。物語内では落ちこぼれ高校・龍山高校を進学校に立て直した手腕を持つ。学生から社会人まで幅広く、学びのナビゲート役を務める。
ライター／R175
理科教員の教員免許を保有。機械エンジニアの経験を活かし、物理現象を身近な現象に結び付け分かりやすく解説する。
万：あらゆるもの
有：有する
引力：引っ張り合う力。
実はあらゆる物体同士、どこの場所にあっても引っ張り合っているのです。
1-1.万有引力の大きさ
image by Study-Z編集部
重力の発生原因となっている万有引力についてみていきましょう。
例えば、A君と石ころも引き付け合っています。
同様に、地球とA君、地球と石ころも同様。なぜ地球が出て来た？それは地球も一つの物体とみなせるから。
イラスト内の公式に示すよう、万有引力は物体の質量に比例、物体間の距離の2乗に反比例します。
地球の半径や、A君や石ころの質量を実際に代入して、万有引力をイラスト内の表にまとめました。
式内に登場する万有引力定数は非常に小さな値で、A君と石ころといったような数十kgオーダーの物体間の万有引力は微小なものとなり、普段の生活では気づかないレベルですね。
地球くらいの大質量を持って初めて、重力並みの万有引力が発生するわけです。
A君と地球、石ころと地球の万有引力の値に注目。体重60kgのA君と地球の間の万有引力は590Nとなっていますね。これはA君に働く重力60×9.8＝58.8Nとほぼ一致。
重力は万有引力より若干小さな値となっています。
それは、地球の自転によってA君には地球から離れていく方向に「遠心力」が働いているため。
桜木建二
実は宇宙のルールで、あらゆる物体は引っ付こうとするというものがある。
当然、地球も周囲の物体と引っ付こうとする。これが重力の源となる。
引っぱり合う力はどんな物体にも作用するが、地球くらい大きな物体でないとその力の存在はほぼ無視できてしまう。
2.地球の自転による遠心力
image by Study-Z編集部
体重60kgのA君に働く「自転による遠心力」を計算していきましょう。
この項では自転によってどれくらい重力が小さくなるのか見ていきます。
A君は赤道上にいるとしましょう。
地球の半径：r=6378km=6378000m
地球は24時間で1周しますから、
角速度ω：1周/24hr=360°/24hr=2π/24hr（ラジアン単位での表記）。
→角速度ω=0.000073(rad/s)。
おっとかなり小さい値。質量60kgのA君に働く遠心力F=60x6378000x(0.000073)^2=2N。
さきほどの表に出て来たA君と地球の間に働く万有引力によって近づき合う力が590N、一方自転による遠心力で離れようとする力が2N。その結果、588Nで引き付け合うことになりますね。
この588NはA君に働く重力（＝質量x重力加速度＝60[kg]x9.8[m/s^2]）に一致。
因みに、A君が北極点上に立っていたら、自転による遠心力は働きませんから「万有引力」分の590Nがそのまま「重力」となります。
北極点での重力加速度は590N/60kg=9.83[m/s^2]と若干増加。
重力加速度は観測地点の緯度によって微妙に変化します。
3.結局重力による「加速度」はどうやって決まる？
image by Study-Z編集部
重力加速度は何で決まるのでしょうか。
万有引力の式を活用して、重力加速度gを他のパラメータで表現してみます。
天体の質量をM、天体の半径をR、重力加速度をgとし、重力≒万有引力と考えましょう。重力加速度gについて解くと、
g=GM/R^2 -(1)式
重力加速度に関係するのは、天体の質量と天体の半径。万有引力定数Gは、定数なのでどうしようもありません。
天体の質量が大きければ大きいほど、また天体の半径が小さいほど大きくなり、
半径が小さくて、質量が大きい→密度が大きい天体ほど重力加速度が大きくなります。
密度が入った式でも確認してみましょう。
天体の体積はV=4πR^3/3、質量がMなので、
密度ρ＝3M/4πR^3。
(4π/3)R・ρ=M/R^2
(1)式に代入すると、
重力加速度g=(4π/3)RGρ -(2)式
と表せます。円周率πも万有引力定数Gも定数なので、重力加速度は天体の密度と半径に比例。キーワードは「密度」と「半径」ですね。
桜木建二
入試の観点からすると、3項は非常に大切。
万有引力と重力が等しいと置いて、式変形していく問題は2次試験で出てきそうだ。
重力加速度と天体密度、重力加速度と天体半径が比例するということは覚えてなくてよいが、式変形は自分で出来るのうにしておきたい。
4.重力加速度を計算
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前項で天体の重力加速度は、自転による遠心力の影響を無視した場合、天体の「密度」と「半径」で決まると述べました。
実際にこれらのパラメータから重力加速度を、また逆に重力加速度から、天体の密度や半径を推定してみましょう。
せっかく導いた式を使ってみましょう。
＼次のページで「4-1.練習問題」を解説！／
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