image by Study-Z編集部
となりますね。
ということは、一般に動径 r が大きいほどⅴが小さいということです。
よって、太陽の周りの楕円軌道を周回する惑星は、太陽に近づくときには速く運動し太陽から遠ざかっているときは遅く運動することがわかります。
ちなみに、太陽の周りを回る公転軌道が真円であるならば常に θ＝90° となり、公転の速さは常に一定です。
桜木建二
三角形は、時間を微小に取ることにより、扇の面積と同じになるのだ。
よって、これは微分積分法だよ。
ニュートン自身は微分積分法を発見したが（ライプニッツとの間で壮絶な先取競争があったといわれている）、彼の主著「プリンキピア」では使われていない。
この微分積分学という当時の先進的な数学的技法が、当時の一般の人にはとうてい理解できないとニュートンが考えたのだろう。
ニュートンはプリンキピアの中で、純粋に幾何的な方法を使っていろいろなことを証明しているんだ。
その方法たるや、エレガント！でまさしくニュートンの天才ぶりがうかがい知れる。
例題
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では面積速度一定の法則を使って問題を解いてみましょう。
惑星が、太陽からの引力だけを受けて周りの楕円公転軌道を周回しているとします。
図にあるような場合、近日点Aと遠日点Bでの惑星の速さの比はいくらになるでしょうか。
ここで動径の長さは
OA = r OB = 3r
Aでの速さ VA Bでの速さ VB とします。
図では、A点B点ともに速度の方向は動径に対して直角としてよいでしょうから、この場合の速度と動径のなす角θは90°です。
したがって、面積速度一定の法則から
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となります。
桜木建二
さあ、問題はどうだったかな？理解できたか？
面積速度一定の法則を使えば複雑に思える運動もこのようにシンプルにすることができるのだ。
それにしても、計算機もろくなものがなかったであろう、ましてやコンピュータなんてまったく想像もできないような時代によくぞケプラーの法則を発見できたものだ！
膨大な時間と根気が必要だったに違いない。
ケプラーの執念と好奇心に脱帽だ。
ケプラーは子供のときに天然痘にかかったため、視力が弱く、また、手にも障害がのこったというからなおさら驚きだ。
さらにニュートンへ
面積速度一定の法則はニュートンのプリンキピアの中にもその記述・解説が見られ、ニュートンの思想に多大な影響を与えています。
この面積速度一定の法則から、角運動量保存則が導かれるのです。
ここで言う角運動量とは、質量×動径×速さ で示されます。
角運動量保存則とは、中心に向かう力だけを受けて運動する物体はその角運動量が保存されるというものですが、角運動量保存則についての詳細は別記事で。
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