物理理科電磁気学・光学・天文学

電磁気学のすべてが詰まった「マクスウェルの方程式」を元理系大学教員が分かりやすく解説

よぉ、桜木建二だ。今回はマックスウェル方程式について解説していくぞ。マックスウェル方程式は電磁気学を勉強する上で基礎となる方程式群だ。電磁気学にまつわる現象はどれも、この方程式を用いて説明することができる。

ここからはマックスウェル方程式に詳しいライター、ひいらぎさんと一緒に解説していくぞ。

解説/桜木建二

「ドラゴン桜」主人公の桜木建二。物語内では落ちこぼれ高校・龍山高校を進学校に立て直した手腕を持つ。学生から社会人まで幅広く、学びのナビゲート役を務める。

ライター/eastflower

10年以上にわたり素粒子の世界に携わり続けている理系ライター。中でもニュートリノに強い興味を持っており、その不思議な性質を日夜追いかけている。今回は電磁気学の基本となるマックスウェル方程式についてまとめた。

マックスウェル方程式とは

image by iStockphoto

マックスウェル方程式は、電場と磁場(両方を合わせて電磁場と呼びます)の振る舞いを記述した4つの方程式からなります。古くから電気と磁力の実験は多く行われ、その度に様々な法則が発見されてきました。そして、それらの法則を4つの方程式という数学的に整った形で整えたのが、マックスウェル方程式です。

それぞれの方程式には名称が別についているのですが、イギリスの物理学者であるジェームズ・クラーク・マックスウェルによりまとめられたため、「マックスウェル」という名前がついています。ちなみにマックスウェルは熱力学第二法則の思考実験「マックスウェルの悪魔」を生んだ人物としても有名です。

Eを電場、Bを磁場とすると、マックスウェル方程式は具体的に次のような式になります。

▽・B(t, x) = 0(磁束保存の式)

▽×E(t, x) + ∂B(t, x)/∂t = 0(ファラデー・マックスウェルの式)

▽・D(t, x) = ρ(t, x)(ガウス・マックスウェルの式)

▽×H(t, x) – ∂D(t, x)/∂t = j(t, x)(アンペール・マックスウェルの式)

ここでtは時間、xは電磁場の座標、D=εE(εは真空の誘電率)、ρは電荷密度、B=μH(μは真空の透磁率)、jは電流密度を示します。

数式がたくさん出てきましたが、その中でも見慣れないものについて簡単に解説していきますね。

まずは「▽・」という数式です。これは別名「div」とも表記し、英語の「Divergence」(訳すと発散)を意味しています。何らかの中心点から四方八方に線が飛び出してくるイメージで、地面から水が湧き出るような場面を思い浮かべると分かりやすいでしょう。

次に「▽×」という数式について見ていきます。これは「rot」とも書き、「Rotation」(訳すと回転)という意味です。電場Eも磁場Bも向きと大きさを持ったベクトルで表されますが、▽×はそのベクトルの向きに沿って右ネジを巻くような回転を示しています。

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マックスウェル方程式には電磁気学の色々な法則が詰まっているわけだな。数式の示すイメージも掴めたところで、それぞれの方程式について、その物理的な意味を考えていこう。

磁束保存の式

image by PIXTA / 6907366

これは磁場がどのような構造をもっているのかを示した方程式になります。▽・Bというのは、磁場Bの発散を示しているのですが、磁場Bが発生源から地下水のように湧き出ているところを想像すると分かりやすいでしょう。方程式ではこれが0だと言っています。

すなわち、磁場には電荷のように発生源となるものがない、ということです。さらに言い換えると、磁場には始まりも終わりもなく(永遠にS極とN極が交互に繰り返される)、片方の磁気(SまたはN極)をもったモノポールのようなものが存在しない、ということを表します。

ちなみに、このモノポールは磁気単極子とも呼ばれ、インフレーション理論や素粒子論からその存在が予言されているものの、今だに見つかっていません。もし発見されれば、この方程式の右辺にはなんらかの磁気密度が加わることになります。

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