簡単でわかりやすい！方程式と関数の違いとは？関数は線？方程式は点？現役医大生ライターが詳しく解説

ライター／Mashew

現役医大生。大手予備校で中学生から大学受験生まで、理系科目から文系科目まで幅広く指導している。共通テストで数学の点数を32点から100点まで伸ばした経験をもとに、数学をわかりやすく解説していく。

方程式と関数の違いってなに？

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数学を勉強すると必ず聞くことになる「方程式」と「関数」。この2つを使いこなせるようになれば、数学の理解が一気に深まります。ここではまず、方程式と関数の違いについて「自動販売機」を例に考えていきましょう。

関数：入力と出力との間のルールのようなもの

自動販売機で飲み物を買うと想像してください。例えばコーラを飲みたいときは、コーラのボタンを押せば必ずコーラの商品が出てきます。コーラのボタンを押したのに時々お茶が出てきたりすると困りますよね？このように、入力（飲み物のボタン）に対して出力（飲み物）が1つ決まるという対応関係を「関数」と呼ぶのです。

これを教科書などでは「xの値を決めると、yの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であると定義する」と書いてあります。xをボタン、yを商品だと思うと、欲しい飲み物を決めてボタンを押すと、確かに欲しい商品だけが出てくるでしょう。

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方程式：関数の一部を取り出したもの

次は逆に、コーラが欲しいときにどのボタンを押せばよいかを考えてみましょう。そう、答えは簡単で「コーラのボタンを押せばよい」でしょう。このとき関数とは違い、欲しい商品に対してボタンがいくつあっても大丈夫です。確かに、自動販売機には同じ商品に対して複数のボタンがあることも多いですよね。

このように、自動販売機がもっている多くの「ボタンと商品の関係」のうち、1つの関係を具体的に取り出したものを「方程式」と呼びます。したがって、方程式は関数の一部を取り出したものとも言えるでしょう。

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関数は方程式をより抽象化したもの

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関数は「対応関係」を表し、方程式はその対応関係のうち1つに注目したものでした。ここでは、方程式と関数の違いについて具体例を通して解説していきます。1つ目のポイントは、関数は方程式を抽象化したものであるという点です。

方程式は具体的な数を求めるもの

ここで、例えばy=2x+1を考えましょう。自動販売機の例を思い出し、xをボタン、yを商品だと思ってください。

ボタンを押して商品を買うように、x=1を代入するとy=3、x=4を代入するとy=9と決まるでしょう。このようにy=2x+1という式はxとyの対応関係を表しているので「関数」と呼びます。また、関数y=2x+1に対してy=5のときのxの値が知りたいとき、5=2x+1を解けばx=2と分かるのです。このように5=2x+1という式はy=5のときのxの値を求めているので「方程式」と呼びます。

このように、方程式は具体的な値を求めるために用いるものです。そして具体的な値を求めることを「方程式を解く」と呼んでいます。

方程式は関数から生み出される

先ほどの例を振り返ると、方程式5=2x+1は関数y=2x+1に対してy=5のときのxの値を求めるために使いました。他にも例えばy=7のときは方程式7=2x+1を解いてx=3、y=15のときは方程式7=2x+1を解いてx=7と求めることができます。関数y=2x+1から多くの方程式を作ることができるのです。

このように、方程式は関数から生み出されます。1つの関数から多くの方程式が生み出されるという点で、関数は多くの方程式を抽象化したものと言えるでしょう。

関数は線？方程式は点？

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数学について考えるとき、グラフや図によってビジュアル化することは大切でしょう。特に関数については、座標平面上でグラフを考えることも重要です。ここでは、方程式と関数の違いについて一次関数のグラフを具体例に解説していきます。

関数はグラフを描くと線になる

先ほどと同様に関数y=2x+1について考えましょう。関数y=2x+1のグラフをxy座標平面上に描くと、右肩上がりの直線となります。一般的に、例のような一次関数では直線を描くことができ、他にも二次関数では「放物線」という曲線、三角関数では「サインカーブ」などの曲線を描くことができるのです。

このように、関数を座標平面上で表すと直線や曲線のような「線」を描くことができます。

方程式は2つの線の交点を求めるもの

では方程式をグラフで表すとどのようになるのか考えましょう。方程式5=2x+1は、関数y=2x+1に対してy=5のときのxの値を求めるために使い、解はx=2でした。ここで、直線y=2x+1と直線y=5の交点を求めてみましょう。y=2x+1とy=5を連立させ、連立方程式を解くとx=2, y=5と分かるでしょう。ここで求められたx=2という値が、方程式5=2x+1の解であるx=2と一致していることを確認してください。

このように、方程式は2つの線の交点を求めているのです。関数は「線」を表していましたが、方程式は「点」を表しています。