物理理科統計力学・相対性理論

5分でわかる「ローレンツ変換」特殊相対性理論の要を理系ライターがわかりやすく解説

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ガリレオ変換とは、動いている電車の中で投げたボールは電車の外にいる観測者からは、電車の速度とボールの速度を足した速度に見えるということだ。常識的に考えて正しそうに思えるだろう。

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ローレンツ変換

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ガリレオ以来、ずっと人類はガリレオ変換が正しいと考えていたわけですが、1887年にマイケルソンとモーリーが行った実験により、すべての慣性系において光速度は不変であるということを示唆する実験結果がでてしまいます。これは簡単に言えばガリレオ変換が間違っているということです。そこで有名なアルバート・アインシュタインがローレンツ変換が正しいとする特殊相対性理論を生み出しました。

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ローレンツ変換.その1

ローレンツ変換.その1

image by Study-Z編集部

アインシュタインは上記の三つの条件を指導原理としてガリレオ変換を拡張して、正しい座標変換を求めました。まず一番目の条件により座標変換は上記の1式のような形でなければなりません。なぜならtやxの二次の項がでてくるなら、等速運動が加速運動になってしまうからです。1式は行列で表現してあります。

x’系での時間t’とx系での時間tは異なるとしていることに注目しましょう。アインシュタインはそれまで常識とされていた、座標系に無関係に時間は流れるという絶対時間の概念を放棄したのです。絶対時間の概念を放棄しない限り正しい変換は導けないと見抜いたのでした。ちなみに、cとは光速のことです。

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ローレンツ変換.その2

ローレンツ変換.その2

image by Study-Z編集部

簡単のため、ガリレオ変換の時と同じようにx’系がx系に対してx軸方向に速度vで運動しているとしましょう。同様にt=t’=0で両座標系は完全に時間を含め完全に重なっているとします。この条件により多くの項が0になるため、1式は2式のようになるはずです。x系の原点Oはx’系上では、x’軸の負の方向に速度vで移動するのでそのx’系での座標は3式になります。

これは2式にx=0を代入して求められる原点Oの運動の式である4式と一致しなければなりません。よって5式の関係が導けます。

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ローレンツ変換.その3

ローレンツ変換.その3

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同様にx’系の原点O’は、x系ではx軸上を正の方向に速度vで運動しているのですから6式となります。これは2式にx’=0を代入して求められた運動7式と一致していなけらばなりません。つまり8式の関係がでてきます。よって、a00=a11でなければならないはずです。ここで便宜上a00とa11をɤとします。

次に、時刻t=t’=0に原点からx軸方向に光を放出したとしましょう。放出された光はx系においてはx=ctと運動していきます。これを2式を用いてx’系の座標に変換するとでてくるのが9式です。一方、光速度不変の原理から、x’系において放出された光も同様にx’=ctと運動するでしょう。よってctとxの変換式は10式になるはずです。

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ローレンツ変換.その4

ローレンツ変換.その4

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10式の座標の逆変換は11式になります。この逆変換は、x’系からそれに対してx’方向に速度-vで運動しているx系への座標変換に対応するはずです。したがって、2式の変換式において、座標値に「’」がついているもといないものとを入れ替え、速度vを-vに置き換えたものと同じものになるでしょう。これは12式となり、この式は11式と一致しなればならないのです。

よってɤは13式になります。したがって、2式は上記の14式となりこれがローレンツ変換とよばれる変換式です。

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tohru123