どんな物もブラックホールになり得る？「シュバルツシルト半径」を理系ライターが初心者目線でわかりやすく解説

ライター／R175

関西のとある国立大の理系出身。学生時代は物理が得意で理科の高校理科の教員免許も持っている。エンジニアの経験があり、教科書の内容に終わらず実際の現象と関連付けて説明するのが得意。

1.ブラックホールとは？

image by iStockphoto

まずはブラックホールについて簡単におさらいしましょう。ブラックホールからは光が出てくることが出来ず外部から光は観測されずその名の通り「真っ暗」。光が出てこられない＝どんな物も出てこられないです。というのは、速度が速い物体程ほど天体から抜け出しやすいですが、宇宙で最も速度の速い「光」でさえ抜け出せないということはもはやどんな物体も抜け出すことが出来ないということ。強力な引力のため抜け出せないのです。

一度引き込まれたら脱出不可なのはなぜ？「ブラックホール」の原理を理系ライターがわかりやすく解説

2.万有引力とは？

image by Study-Z編集部

物体が抜け出せない原因は「万有引力」で天体の中心に引っ張られるから。式を見ての通り、万有引力は2物体の質量に比例し2物体間の距離Rに反比例。ものすごく質量が大きかったり距離が近かったりすると、強力な引力となりますね。

質量を持つ全ての物体に働く「万有引力の法則」について元理系大学教員が分かりやすくわかりやすく解説

3.脱出する力

前項では、引張る側の力引力に着目していましたが、脱出する力はどうやって発生するのか？光のように速いものはなぜ脱出しやすいのか？

自転による遠心力

地球の赤道上での自転速度は時速1670キロ。これだけのスピードで回転運動をしているわけですから、それなりの遠心力が働くはずですね。そう、濡れたボールを回転させたら水滴が吹き飛んでいくようなイメージで、自転によって地球から投げ出されるような向き力が発生しています。

自転による遠心力の影響

image by Study-Z編集部

ところで、地球上での重力はほぼほぼ万有引力ですが、計算してみると若干ズレていますね。例えば、重さ1kgの物体と地球の間に働く万有引力はイラスト内の式を駆使すると、9.84Nと求まります。一方重力加速度g=9.81辺りがよく使われていて、これで計算すると1kgの物体の重力は9.81N。桁を丸め過ぎた誤差でしょうか？いやいやそれだけではありません。

残りの0.03Nは自転による遠心力です。遠心力は質量と速度の2乗に比例、半径に反比例します(イラスト内式参照)。質量1kgの物体が赤道上にある場合の遠心力は約0.03N。

地球と物体は引き合う方向に9.84N、離れる方向に0.03N力が働きその合力9.81Nが重力となっているわけです。

自転を速くすれば離れる力は大きくなる

仮に自転速度が2倍だったら(1日が12時間だったら)？遠心力は4倍になり、1kgの物体はおよそ0.12Nの遠心力を受ける計算。さらに2倍して1日6時間にしてやれば、遠心力は0.48N。という具合に上式の速度vの値を大きくすれば遠心力は速度の2乗に比例して大きくなり、仮に地球が1時間24分で1周するとすれば遠心力はなんと、9.91Nとなり万有引力の9.84Nに勝ってしまいます。このように速度を上げていけば、やがて万有引力を超え無重力状態となるわけです。

4.天体からの脱出

遠心力が万有引力を超えれば、天体に引き込まれることはありません。以下、イメージしやすいように地球からの脱出に必要な速度を考えましょう。地球上において、遠心力と万有引力が釣り合う時の速度が第一宇宙速度です。しかし後述の通り、天体の引力の影響を完全に振り切ることは出来ません。

第一宇宙速度

image by Study-Z編集部

遠心力=万有引力として、速度について解いてやれば第一宇宙速度が導出され、イラスト内の式に数値を代入すれば第一宇宙速度＝7.9km/sが求まります。しかし残念ながら第一宇宙速度を超えても地球から脱出することは出来ません。なぜなら、重力をゼロに出来ても地球からの引力の影響を完全に振り切ることは出来ず衛星軌道をグルグル回転することになるから。地球に吸い込まれもしないけど、離れていくことも出来ない状態です。

image by Study-Z編集部

第二宇宙速度

では脱出するためにはどれくらい速くないといけないのか？イラストのように、万有引力に勝る遠心力を持っていても結局楕円軌道を描いて地球の周りを運動します。イメージ的にはこの楕円軌道のカーブで「少し膨らむが曲がり切れる」状態。これに対して、引力の影響を完全に振り切るには「曲がり切れない」状態となる必要があります。

第二宇宙速度の求め方

image by Study-Z編集部

では、上記のカーブで曲がり切れなくするには？力の釣つり合いを考えても出てこなさそう。考え方を変えて、力学的エネルギーに着目しましょう。無限遠と天体表面を比べて無限遠の方がエネルギーが小さければ(無限遠に)落ちていきますね。

無限遠での位置エネルギーをゼロ、天体に近いほど位置エネルギーざ小さいと考えます。距離が無限大ならゼロに、距離がゼロなら-無限大。半径rの天体表面にある質量mの物体のの位置エネルギーは-GMm/r。これに運動エネルギーを足してゼロを超えていれば、無限遠より高いエネルギーを持っていることになりますね。物体は無限遠に落ちていく状態であり、天体を脱出出来ます。第二宇宙速度をv2としましょう。イラスト内の導出よりv2が出てきて、ここに数値を代入するとv2=11.2km/sと求まります。

ブラックホールの条件

第二宇宙速度が光速度より大きければ、光速度で移動しても脱出不可ということになります。光が出ていかない=周りから見ると真っ暗ということで、ブラックホールです。第二宇宙速度が光速度以上ということは、イラストに示すような条件。物質が狭い範囲に集中していて超大な密度を持っていることを意味します。

5.どんな物でもブラックホール？

半径と質量の比率が一定以上ならブラックホール。どんな質量であれ半径がほぼゼロなら第二宇宙速度が無限大となり、ブラックホールと言えます。しかし物体がブラックホールになるためにはかなり半径が小さくないとなれません。

例えば地球と同じ質量の物体がブラックホールになるためには半径いくら以下の必要があるか計算してみましょう。第二宇宙速度を求めた式に地球の質量を5.97×10^24kgとv2＝光速度として代入しRを求めると、R=8.9mm。地球と同じ質量の天体が例えば半径5mmまで圧縮されていたとしましょう。R=8.9mmよりも内側の領域はブラックホールとなります。

シュバルツシルト半径とは

シュバルツシルト半径とは、上記の地球の例でいう8.9mmのこと。ある質量の物体が限りなく圧縮されているとして、ブラックホールと外側との境界面になるところの半径がシュバルツシルト半径です。

とてつもなく接近できればブラックホールとなる

ブラックホールとは強力な引力のせいでどんな物体でも吸い込んでしまう状態。吸い込んでしまう原因は万有引力で、これは2物体の質量と距離で決まるもの。2物体の距離を限りなく近づければ超大な引力が働き理論上ブラックホールになりますが、地球の質量でも半径9mmまで近づける必要がありあまり現実的ではありません。