3分で簡単「レオンハルト・オイラー」人類史上屈指の数学的天才を理系ライターがわかりやすく解説

ライター／トオル

物理学科出身のライター。広く科学一般に興味を持つ。初学者でも理解できる記事を目指している。

レオンハルト・オイラーについて

image by iStockphoto

今回はレオンハルト・オイラーについてです。彼は人類史上最も有名な数学者の一人であり、数多くの業績残しました。オイラーは研究量においても有名であり、もっとも多数の論文を執筆した数学者だとされています。解析、数論、幾何学、数理物理学とその研究内容は多岐にわたり、多くの定理・公式を発見しました。今回は物理学の記事ですので、オイラーが多くの貢献をした剛体の力学についても紹介してみましょう。

レオンハルト・オイラーの生涯

Jakob Emanuel Handmann - 2011-12-22 (upload, according to EXIF data), パブリック・ドメイン, リンクによる

レオンハルト・オイラーは天才に相応しく常に研究をしていた人生でした。オイラーは死んだとき、生きることと計算することを辞めたと評されるほど、研究にささげた人生だったようです。

その1.生い立ち

レオンハルト・オイラーは1707年スイスのバーゼルに生まれました。父親はプロテスタントの牧師で、数学の教育を受けたことがあり父親から最初の数学の教育を受けたようです。13歳ですでに大学の聴講生となっていたオイラーは、著名な数学者であるヨハン・ベルヌーイの弟子として本格的に数学研究に取り組むようになります。バーゼル大学での教職を目指いしていたようですが、年齢が若すぎることもありバーゼル大学での職を得られませんでした。

その2.青年期

そこでオイラーはヨハン・ベルヌーイの息子であるダニエル・ベルヌーイの推薦により、ロシアの首都サンクトペテルブルクに移りここで科学アカデミーの教職に就き研究に励みます。ここでスイス出身のカラリーナ・グゼルと結婚し、生涯で13人の子供を設けました。ただし、オイラー自身より長生きした子供は三人だけです。この頃オイラーは健康を損ない1738年には、右目を失明しています。

その3.壮年期

1741年ロシアが政情不安定になったこともあり、プロイセン(現在のドイツ)の皇帝フリードリッヒ二世に招聘されオイラーはベルリン科学アカデミーに移りました。そこで20年以上精力的に研究を続けましたが、フリードリッヒ二世と次第に不和になり1766年頃、エカチェリーナ二世の招きにより再びサンクトペテルブルクのアカデミーに移ります。

その4.晩年

1783年に76歳でその生涯を終えるまで、サンクトペテルブルクで精力的に研究を続けました。1771年には残っていた左目の視力も完全に失い全盲になってしまったのですが、驚くべきことに数学の研究にはほとんど支障がなかったようです。現在、オイラーはサンクトペテルブルグに近いアレクサンドル・ネフスキー大修道院の墓地で静かに眠っています。

剛体に力学について

オイラーは人類史上最大級の数学の業績をもち、物理学の分野でもいくつか業績があるのですが、今回はその代表である剛体の力学について紹介しましょう。

剛体の力学.その1

image by iStockphoto

固い物体は力を加えても変形しないし、運動するときも形を変えない、完全に固い物体を考えて、これを剛体と名付けます。剛体は無数の質点からなると考えられますが、剛体内の各質点の相互の位置関係が変わらないように互いに内力をおよぼしあっていると考えるのです。質点相互の位置関係が変わらないということが剛体のもつ著しい特徴であり、剛体は質点系の特別な場合として扱うことができます。

剛体の力学.その2

ちなみに質点とは、たとえばボールの落下運動を調べるときはボールの中心の位置を考えるでしょう。この場合のように物体の大きさを問題にしないで、質量をもった点として扱うときこれを質点と呼びます。地球や、木星のような巨大なものでも、太陽の周りの公転だけを扱うときにはこれらを質点とみなすことができるのです。また、たとえ小さな物体でも、斜面を転がる円板などは、質点とみなさずに回転まで考えなければなりません。この質点が集まったものが剛体です。

剛体の力学.その3

image by Study-Z編集部

剛体の位置、回転をきめるにはいくつの変数が必要でしょうか。剛体内の一点は空間に固定した座標軸により、三個の座標できまるはずです。この点を通って剛体に固定した一つの直線を考えると、その方向は極座標で二個の変数が必要になります。最後にこの剛体はこの直線のまわりに回転できるので、それを表す角を選ぶ必要があるでしょう。こうして剛体の位置と回転は六個の変数により定められ、このことを剛体の自由度は六であるといいます。

剛体の力学.その4

そのため剛体の運動は六個の運動方程式によって定まるのです。剛体の運動を定める六個の運動方程式として、重心に対する運動方程式である1式と、角運動量に対する運動方程式2式が用いられます。もし外力のモーメントNが常にゼロならば、角運動量Lは一定に保たれるでしょう。これは剛体に対する角運動量保存の法則になります。

剛体の力学.その5

image by Study-Z編集部

剛体が一直線のまわりに自由に回転でき、そしてこの回転以外の運動ができない場合、この直線を固定軸といいます。この場合、この軸のまわりの回転角だけで剛体の位置と傾きは定まるはずです。したがって、自由度は一となり、一個の運動方程式だけで運動が定まるでしょう。これは六個の運動方程式からうまく選ぶ必要がありますが、固定軸のまわりの角運動量に対する式を使えばいいことがすぐにわかります。

固定軸をz軸にとり、剛体を構成する各質点の軸からの距離をriとし、軸上に原点をもち、空間に固定した円柱座標を用いれば質点jの角速度は3式です。しかし、3式で表される角速度は各質点に共通であって、剛体の回転の角速度になります。そして質点jの運動量は4式であり、軸に関する角運動量は5式です。よって軸に関する全角運動Lは6式になるでしょう。

剛体の力学.その6

image by Study-Z編集部

jに関する和は剛体を構成する質点全体に関する和になります。ここで固定軸によって定まる量7式は固定軸のまわりの剛体の慣性モーメントとよばれ、これを用いれば、軸のまわりの角運動量は8式です。角運動に対する運動方程式は9式となるので、固定軸をもった剛体の運動方程式は10式になります。また剛体が基準の位置から回った角をφとすれば角速度は11式ですので、運動方程式は12式です。

力のモーメントNを一定にしたとき剛体の角速度は慣性モーメントに逆比例します。したがって、質量が直線運動の慣性の大きさを表すのに似て、慣性モーメントは回転運動の慣性の大きさを表すのです。

オイラーの等式

image by Study-Z編集部

上記はオイラーの等式とよばれる式であり、オイラーが発見した数式の中で最も有名であり、数学中で最も美しい数式の一つであると言われているものです。eはネイピア数と呼ばれる自然対数の底であり、πは円周率、iは虚数といわれる二乗すればマイナス1になる数になります。一見意味不明な不思議な式ですが、これには指数関数と三角関数をつなぐ、これもオイラーが発見した重要な公式から導出されているのです。

これは人類の至宝といわれることもあるほど有名な数式ですので、オイラーの名前とともについでに覚えておくことをオススメします。