物理

粒子の落下速度がわかる?「ストークスの法則」を理系学生ライターがわかりやすく解説!

ストークスの法則を表す数式

ストークスの法則を表す数式

image by Study-Z編集部

まずはじめに、ストークスの法則を表す数式について説明しますね。粒子の終端速度vは、v=D2p-ρf)g/18ηで与えられます。ここで、Dは粒子径ρpは粒子の密度ρfは流体の密度gは重力加速度ηは流体の粘度を表していますよ。

この式から、終端速度vは粒子径Dの2乗に比例していることがわかります。言い換えると、粒子の表面積が大きくなればなるほど、終端速度は速くなるということです。また、終端速度vは流体の粘度ηに反比例しています。これは、流体がネバネバしているほど、終端速度が遅くなるということですよね。

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ストークスの法則が表している事柄は、直感にかなり近いと感じるな。

ストークスの法則の成立条件

ストークスの法則の成立条件

image by Study-Z編集部

次に、ストークスの法則が成立する条件について解説していきますね。ストークスの法則を適応するためには、2つの条件を満たす必要があります。1つ目は粒子が球形であること、2つ目はレイノルズ数Reが2未満であることです。1つ目の条件は、簡単に理解できますよね。落下する粒子はゆがみのない綺麗な球体でなければならないということです。

では、2つ目の条件について考えてみましょう。レイノルズ数は、慣性力と粘性力の比を表す無次元数で、Re=UL/νと表します。Uは代表速度、Lは代表長さ、νは動粘性係数です。ストークスの法則では、終端速度vを代表速度、粒子径Dを代表長さとします。また、動粘性係数はη/ρfですよ。つまり、粒子が大きすぎると正確な値が計算できないのです。

レイノルズ数Reが2未満でない場合は、アレンの公式(層流と乱流の中間)ニュートンの公式(乱流)を適応することで、終端速度を求めることができますよ。

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ストークスの法則は、いつでも使える公式ではないぞ。注意しろ。

ストークスの法則の導出

ストークスの法則の導出

image by Study-Z編集部

ここでは、ストークスの法則を導出する方法を紹介しますね。まずは、流体中の粒子に作用する抵抗力を式で表しましょう。流体による抵抗力は粘性抵抗慣性抵抗の2種類があります。ですが、レイノルズ数Reが2未満のとき、粘性抵抗が支配的になるため、慣性抵抗の値は無視することができるのです。粘性抵抗fの大きさは落下の速さに比例しf=6πrηvとなります。ここで、πは円周率rは粒子の半径ηは流体の粘度vは落下の速さです。また、抵抗力は一般的に、粒子の進行方向と逆向きに作用します

次に、粒子に作用する重力浮力を式で表しましょう。粒子に作用する重力は(4/3)πr3ρpg浮力は(4/3)πr3ρfgです。落下している粒子の速度が終端速度に達したとき、粒子にかかる力はつり合っているので、6πrηv+(4/3)πr3ρfg=(4/3)πr3ρpgという式が成立します。さらに、この式をvについて解くと、v=2r2p-ρf)g/9ηとなりますよね。また、粒子径DはD=2rであることから、v=D2p-ρf)g/18ηとなります。これでストークスの法則を導くことができました!

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ストークスの法則の導出は、意外にも簡単だ。

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