粒子の落下速度がわかる？「ストークスの法則」を理系学生ライターがわかりやすく解説！

ライター／通りすがりのペンギン船長

現役理系大学生。環境工学、エネルギー工学を専攻しており、物理学も幅広く勉強している。塾講師として物理を高校生に教えていた経験から、物理の学習において、つまずきやすい点や勘違いしやすい点も熟知している。

雨粒の落下速度について考えよう！

皆さんは、雨粒が空から落ちてくるときの速度について考えたことがありますか？そのようなことは考えたことないという方が多いのではないでしょうか。ですが、古典力学の知識を用いると、簡単に物体の落下速度を求めることができますよね。高さhから場所物体を落としたとき、物体が地面に衝突する速度vの近似値は、v=√2ghと表すことができます。ここで、gは重力加速度を表していますよ。

雨雲が存在している高度は1000[m]程度であり、地球上での重力加速度はおよそ9.8[m/s²]です。これらの値を、先ほどの式に当てはめると、雨粒の落下速度が求められるはずですよね。計算すると、雨粒の地面付近での落下速度は約100[m/s]となります。この値を時速換算すると、なんと360[km/h]です。いくら軽い雨粒とはいえ、360[km/h]という新幹線並みのスピードで落下してくるようではひとたまりもありません。

安心してください。実際に、このようなことはありません。実際の雨粒の落下速度は5[m/s]程度で、時速換算すると18[km/h]です。なぜ計算結果と実際の値がこれほど離れているのでしょうか。その理由は、先ほどの式は空気抵抗を考慮していないからです。空気抵抗は、雨粒の落下する方向と逆の向きに作用する力ですよ。実際の雨粒はある一定の速度まで加速した後、重力と空気抵抗がつり合って、等速で落下するのです。

ストークスの法則とは？

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先ほど、雨粒はある一定の速度まで加速した後、重力と空気抵抗がつり合い、最終的には等速で落下するということを学びました。実は、このような現象は雨粒に限らず、流体中を落下する物体すべてに当てはまりますよ。例えば、写真に示したような工場からの排ガスに含まれるエアロゾルでも、同様の現象が見られます。そして、最終的に等速で落下するときの速度を終端速度と呼ぶのです。また、流体とは水や空気といった液体と気体の総称ですよ。

そして、ストークスの法則は、流体中を落下する物体の終端速度を定式化したものです。ですから、ストークスの法則を用いることで、流体中を落下する様々な物体の速度を簡単に求めることができます。この記事では、ストークスの法則を表す数式、適応してもよい条件、導出方法を解説していきますね。

ストークスの法則についてより詳しく学ぼう！

ストークスの法則を表す数式

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まずはじめに、ストークスの法則を表す数式について説明しますね。粒子の終端速度vは、v＝D²(ρ_p－ρ_f)g/18ηで与えられます。ここで、Dは粒子径、ρ_pは粒子の密度、ρ_fは流体の密度、gは重力加速度、ηは流体の粘度を表していますよ。

この式から、終端速度vは粒子径Dの2乗に比例していることがわかります。言い換えると、粒子の表面積が大きくなればなるほど、終端速度は速くなるということです。また、終端速度vは流体の粘度ηに反比例しています。これは、流体がネバネバしているほど、終端速度が遅くなるということですよね。

ストークスの法則の成立条件

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次に、ストークスの法則が成立する条件について解説していきますね。ストークスの法則を適応するためには、2つの条件を満たす必要があります。1つ目は粒子が球形であること、2つ目はレイノルズ数Reが2未満であることです。1つ目の条件は、簡単に理解できますよね。落下する粒子はゆがみのない綺麗な球体でなければならないということです。

では、2つ目の条件について考えてみましょう。レイノルズ数は、慣性力と粘性力の比を表す無次元数で、Re=UL/νと表します。Uは代表速度、Lは代表長さ、νは動粘性係数です。ストークスの法則では、終端速度vを代表速度、粒子径Dを代表長さとします。また、動粘性係数はη/ρ_fですよ。つまり、粒子が大きすぎると正確な値が計算できないのです。

レイノルズ数Reが2未満でない場合は、アレンの公式(層流と乱流の中間)、ニュートンの公式(乱流)を適応することで、終端速度を求めることができますよ。

ストークスの法則の導出

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ここでは、ストークスの法則を導出する方法を紹介しますね。まずは、流体中の粒子に作用する抵抗力を式で表しましょう。流体による抵抗力は粘性抵抗と慣性抵抗の2種類があります。ですが、レイノルズ数Reが2未満のとき、粘性抵抗が支配的になるため、慣性抵抗の値は無視することができるのです。粘性抵抗fの大きさは落下の速さに比例し、f=6πrηvとなります。ここで、πは円周率、rは粒子の半径、ηは流体の粘度、vは落下の速さです。また、抵抗力は一般的に、粒子の進行方向と逆向きに作用します。

次に、粒子に作用する重力と浮力を式で表しましょう。粒子に作用する重力は(4/3)πr³ρ_pg、浮力は(4/3)πr³ρ_fgです。落下している粒子の速度が終端速度に達したとき、粒子にかかる力はつり合っているので、6πrηv＋(4/3)πr³ρ_fg＝(4/3)πr³ρ_pgという式が成立します。さらに、この式をvについて解くと、v＝2r²(ρ_p－ρ_f)g/9ηとなりますよね。また、粒子径DはD=2rであることから、v＝D²(ρ_p－ρ_f)g/18ηとなります。これでストークスの法則を導くことができました！