物理学

3次元空間と角運動量ベクトルと外積を理系ライターがわかりやすく解説

よぉ、桜木建二だ。今回は三次元空間と角運動量ベクトルと外積について解説していくぞ。

この記事では主に角運動量について説明する。角運動量という言葉は聞いたことがある人もいるかもしれないが、角運動量を正確に扱うためには角運動量ベクトルを考えなければならない。角運動量ベクトルを扱うには外積という演算を、外積を扱うためには三次元空間を扱わなければならない。この記事は物理学の初学者には少し難しいかもしれないが頑張ってみよう。

今回は物理学科出身のライター・トオルさんと解説していくぞ。

解説/桜木建二

「ドラゴン桜」主人公の桜木建二。物語内では落ちこぼれ高校・龍山高校を進学校に立て直した手腕を持つ。学生から社会人まで幅広く、学びのナビゲート役を務める。

tohru123

ライター/トオル

物理学科出身のライター。広く科学一般に興味を持つ。初学者でも理解できる記事を目指している。

3次元空間と角運動量ベクトルと外積

image by iStockphoto

この世界の存在は三次元的に考えるのが一般的です。物理学的には四次元もしくはもっと高次元を考えることもありますが、一般的には三次元として考える事が多いと思います。この記事で三次元とは簡単に位置を表すのに3つの情報、たとえば(x,y,z)が必要な空間としておきましょう。

運動量がベクトル量であるように、角運動量もベクトル量になります。ベクトル量とは大きさだけでなく、向きも持つ量です。角運動量ベクトルを正確に取り扱うには、ベクトルの外積という演算を用いる必要がります。空間は三次元であることを考えると、角運動量ベクトルを正確にとり扱う場合も三次元で考えなければなりません。

角運動量ベクトルが表す実際の運動は、角運動量ベクトルを中心にして反時計回りの運動である、という初学者にとっては違和感のある関係をしています。しかし、これは歴史的に回転を表すのに都合のよい方法を色々を考えた結果生み出されたものですので、回転運動を取り扱うには非常にうまい方法なのです。

人間は三次元的にものを考えるのが苦手ですが、角運動量ベクトルを考えるには三次元的に考える必要があります。角運動量ベクトルを考える事によって三次元的なイメージになれていきましょう。最初は難しくても、常に三次元的イメージを持つことを心掛けてください。

外積について

外積について

image by Study-Z編集部

まずは数学的準備として外積について簡単に説明しておきましょう。外積は物理学的に回転運動を分析するときには大抵でてくる演算であり、物理学を学ぶ場合には覚えておく必要がある知識です。上記はaベクトルとbベクトルの外積を図と成分で表した画像になります。外積は四則演算の掛けると同じ記号ですので、間違えないようしましょう。

画像の図を見てください。aベクトルとbベクトルは同一平面上あるとします。aとbの外積は、aにもbにも垂直で、その大きさはaの大きさとbの大きさを掛けたものに間の角のsinを掛けたものです。点線はbとサインシータを掛けたものであり、点線の長さにベクトルaの長さを掛けたものがaとbの外積の大きさになります。aと点線は垂直であることに注意してください。

成分での計算方法は図の右側の真ん中です。これは行列式の計算と同じになるのですが、このパターンをそのまま覚えたほうが速いと思います。まずは図での理解が重要ですので、3つのベクトルの関係性をちゃんと覚えておきましょう。あと、外積は計算の順序を入れ替えたら結果が変わってしまうことにも注意してください。上の図でもしbとaの外積にした場合、大きさは変わらないのですが向きが逆、つまり結果にマイナスがついてしまいます。

力のモーメント

力のモーメント

image by Study-Z編集部

駆け足で外積を説明しましたが、次は回転運動を起こす力の表現を見てみましょう。rの位置にある物体mに、Fという力が掛かっているとします。その時、原点の回りの回転運動を起こす力はrとFの外積であるNです。このNを力のモーメントと呼びます。少しわかりにくいですが、それぞれのベクトルの位置関係を表したのが上記の三つの図です。

上の図は斜めからみた図で、左下はrとFを含む平面の真上から見た図、右下はrとFを含む平面の真横から見た図になります。ベクトルは平行移動できることを考え、Fを原点まで平行移動させると、先ほどの外積の画像の位置関係とまったく同じであることがわかるでしょう。重要なのは力のモーメントベクトルはrとFの両方に垂直になっているということです。Nのような力のモーメントベクトルは、Nの周りに反時計回りの回転を生み出す力を表していることを理解してください。

角運動量

角運動量

image by Study-Z編集部

次はいよいよ角運動量になります。といっても力のモーメントとほぼ同じで、力Fのところが運動量pに置き換わっているだけです。つまり、位置rと運動量pの外積をLとして、このLが角運動量ベクトルになります。先ほどの力のモーメントと同じで、角運動量ベクトルはrベクトルとpベクトルの両方に垂直であることに注意してください。

力のモーメントベクトルと同様に、重要なのは回転運動の方向とベクトルの方向が違うということです。角運動量ベクトルが表す回転運動は、角運動量ベクトルの真上から見たときに反時計回りの運動になります。最初は非常に作為的なもののように感じますが、回転を表すのにはこのようなベクトルを考えると非常にうまくいくので慣れていきましょう。

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外積は慣れないうちはすこし難しいかもしれないが、まずは図でそれぞれのベクトルの位置関係を覚えるようにしよう。力のモーメント、角運動量は外積のそのままの適用であるから、外積と一緒に覚えてしまおう。

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