物理

3分で簡単にわかる「ニュートンの冷却の法則」!数式や例題も理系学生ライターがわかりやすく解説

今回は、伝熱学で学習する「ニュートンの冷却の法則」について解説していきます。「ニュートンの冷却の法則」は、熱くなった物体が冷却されていく様子を数式で記述したものです。この法則は、材料工学、機械工学などで広く応用されており、人類の科学技術を支える重要な道具になっている。ぜひ、この記事を読んで、「ニュートンの冷却の法則」を理解してくれ。

塾講師として物理を高校生に教えていた経験もある通りすがりのぺんぎん船長と一緒に解説していきます。

ライター/通りすがりのペンギン船長

現役理系大学生。環境工学、エネルギー工学を専攻しており、物理学も幅広く勉強している。塾講師として物理を高校生に教えていた経験から、物理の学習において、つまずきやすい点や勘違いしやすい点も熟知している。

ニュートンの冷却の法則とは?

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ニュートンの冷却の法則は、媒質中に存在する高温の物体(固体)が冷却される様子を、測定実験を経て定式化したものです。ここでの媒質とは、空気などの気体水などの液体のことですよ。高温の物体とは、熱いコーヒーが注がれたコーヒーカップなどをイメージすればよいでしょう。

つまり、ニュートンの冷却の法則を用いることで、冷たい空気中に置かれたコーヒーカップが、時間の経過とともにどのように冷めていくのかを予測することができるのです。このように、冷たい媒質中に置かれた物体が冷却されていく様子を考える場面は、工学分野で多く存在します。

電気製品から発生する熱を逃がすための放熱板の設計が良い例ですね。その他にも、熱を逃がさないようにするための断熱材の設計などの事例があります。ゆえに、ニュートンの冷却の法則は、身近な機器や材料を作るためには、必要不可欠なものなのです。

ニュートンの冷却の法則について詳しく学ぼう!

ニュートンの冷却の法則の数式

ニュートンの冷却の法則の数式

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ニュートンの冷却の法則は、媒質中に置かれた物体の熱量Qの時間変化量は、媒質と媒質中に置かれた物体の温度差(T-Tm)に比例するというものです。このとき、熱伝達率hと媒質中に置かれた物体の表面積Sの積が、比例定数となります。熱伝達率hは、媒質と媒質中に置かれた物体の形状や物理的性質などによって決定される固有の値です。

これを微分方程式で記述すると、

dQ/dt=-hS(T-Tm)

となりますよね。dQ/dtは、媒質中に置かれた物体の熱量Qの時間微分を表しています。この式によると、媒質と媒質中に置かれた物体の温度差(T-Tm)が大きいとき、媒質中に置かれた物体の熱量Qの減少速度は大きくなることが分かりますね。一方、媒質と媒質中に置かれた物体の温度差(T-Tm)が小さいときは、逆の現象が起きます。

微分方程式を解いてみよう!

微分方程式を解いてみよう!

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先ほど、ニュートンの冷却の法則を微分方程式で記述すると、dQ/dt=-hS(T-Tm)となることを述べました。この微分方程式を解析的に解いてみましょう。まず、媒質中に置かれた物体の熱容量をCとおきます。このとき、dQ=CdTとなりますよね。したがって微分方程式は、

C(dT/dt)=-hS(T-Tm)

と書き換えることができます。ここで、媒質の温度Tmを定数として扱うと、C(dT/dt)=-hS(T-Tm)は変数分離型の微分方程式となりますね。ゆえに、微分方程式はさらに変形することができて、

(dT/ T-Tm)=-(hS/C)dt

となります。この式の両辺を積分し、Tについて解くと、

T = αexp(-hSt/C)+ Tm

という式が得られますね。最後に初期条件から定数αの値を求めましょう。冷却開始時における媒質中に置かれた物体の温度をT0とするとα=T0-Tmとなります。したがって、

T = (T0-Tm)exp(-hSt/C)+ Tm

となるのです。

ニュートンの冷却の法則を使って問題を解こう!

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では、ニュートンの冷却の法則を使って問題を解いてみましょう!問題は下記の通りです。

400℃に加熱された鉄球を、室温20℃の部屋で自然冷却すると、冷却開始後5分で280℃になった。このとき、鉄球の温度が100℃になるのは、冷却開始後何分であるかを求めなさい。ただし、鉄球の冷却はニュートンの冷却の法則に従うものとし、室温は常に20℃に保たれていることにする。

1.式にそれぞれの値を代入する

1.式にそれぞれの値を代入する

image by Study-Z編集部

この問題では、部屋の空気を媒質加熱された鉄球を媒質中に置かれた物体として考えます。Tm=(室温)T=(鉄球の温度)とすればよいですね。また、室温は常に20℃に保たれていることから、Tmは定数扱いとします。ですから、先ほど求めた式であるT = (T0– Tm)exp(-hSt/C)+ Tmを使うことができますね。

まず、冷却開始後5分の鉄球の温度は280℃であることから、

(280+273)={(400+273)-(20+273)}exp{-(hS×5×60)/C}+(20+273)

となりますね。ここでは、Tm=20℃=(20+273)K、T=280℃=(280+273)K、t=5分=(5×60)秒として計算しています。また、T0は冷却を開始したときの鉄球の温度であるので、T0=400℃=(400+273)Kとなりますよ。

次に、冷却開始後x分後に鉄球の温度が100℃になるとすると、

(100+273)={(400+273)-(20+273)}exp{-(hS×x×60)/C}+(20+273)

となります。T=100℃=(100+273)K、t=x分=(x×60)秒として計算しましたよ。この2つの式を用いて、xの値を求めてみましょう!

\次のページで「2.方程式を解く」を解説!/

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